Упр.60.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее целочисленное значение параметра $$b$$, при котором уравнение имеет два корня:
а) $$x^2 — 2bx + b^2 — 4b + 3 = 0$$;
б) $$x^2 + 2(b — 2)x + b^2 — 10b + 12 = 0$$.

а) Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-2bx+b^2-4b+3=0.$$

Чтобы уравнение имело два корня, нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D=(-2b)^2-4\cdot 1\cdot (b^2-4b+3)=4b^2-4b^2+16b-12=4(4b-3).$$

Тогда

$$4(4b-3)>0,$$

$$4b-3>0,$$

$$b>\frac34.$$

Наименьшее целочисленное значение $$b$$ равно $$1$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$x^2+2(b-2)x+b^2-10b+12=0.$$

Для двух корней требуется

$$D=\bigl(2(b-2)\bigr)^2-4\cdot 1\cdot (b^2-10b+12)=4(b-2)^2-4(b^2-10b+12).$$

Упростим:

$$D=4\bigl((b-2)^2-(b^2-10b+12)\bigr)=4(6b-8).$$

Тогда

$$4(6b-8)>0,$$

$$6b-8>0,$$

$$b>\frac43.$$

Наименьшее целочисленное значение $$b$$ равно $$2$$.

Ответ: а) $$1$$; б) $$2$$.