Упр.60.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство относительно $$x$$:

а) $$\sqrt{x-2}(x-a)\ge 0$$;

б) $$(6-x)\sqrt{x-a}>0$$.

а) Чтобы произведение $$\sqrt{x-2}\,(x-a)$$ было неотрицательным, нужно, чтобы оба множителя были неотрицательны:

$$\begin{cases} x-2 \ge 0,\\ x-a \ge 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x \ge 2,\\ x \ge a. \end{cases}$$

Значит, решение зависит от значения параметра $$a$$:

• если $$a \le 2$$, то $$x \ge 2$$;
• если $$a > 2$$, то $$x \ge a$$.

Ответ: $$x \in [2;+\infty), \text{ если } a \le 2; \quad x \in [a;+\infty), \text{ если } a > 2.$$

б) Для неравенства $$\left(6-x\right)\sqrt{x-a} > 0$$ произведение должно быть положительным, значит оба множителя должны быть положительными:

$$\begin{cases} 6-x > 0,\\ x-a > 0. \end{cases}$$

Получаем

$$\begin{cases} x < 6,\\ x > a. \end{cases}$$

Тогда:

• если $$a < 6$$, то $$a < x < 6$$;
• если $$a \ge 6$$, то решений нет.

Ответ: $$x \in (a;6), \text{ если } a < 6; \quad \varnothing, \text{ если } a \ge 6.$$