Упр.6.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. a) $$\sqrt{\sin^2(5)-2\sin(5)\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)+\sin^2\left(\frac{11\pi}{6}\right)}-\sqrt{\sin^2\left(\frac{5\pi}{6}\right)-2\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\sin(5)+\sin^2(5)}$$

а) Используем формулу $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$:

$$\sqrt{\sin^2 5-2\sin 5\sin \frac{11\pi}{6}+\sin^2 \frac{11\pi}{6}} -\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6}-2\sin \frac{5\pi}{6}\sin 5+\sin^2 5}$$

$$=\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right|-\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right|$$

Так как $$\sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12,\quad \sin \frac{5\pi}{6}=\frac12,$$ то

$$\left|\sin 5+\frac12\right|-\left|\frac12-\sin 5\right|$$

Число $$5$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin 5<0$$, поэтому

$$\left|\sin 5+\frac12\right|=-(\sin 5+\tfrac12),\qquad \left|\frac12-\sin 5\right|=\frac12-\sin 5$$

Тогда

$$-(\sin 5+\tfrac12)-(\tfrac12-\sin 5)=-1$$

Ответ: $$-1$$

б) Аналогично:

$$\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{2\pi}{3}+\cos^2 \frac{2\pi}{3}} +\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cos \frac{\pi}{3}+\cos^2 \frac{\pi}{3}}$$

$$=\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right|+\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right|$$

Так как $$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12,\quad \cos \frac{\pi}{3}=\frac12,$$ получаем

$$\left|\cos 4+\frac12\right|+\left|\cos 4-\frac12\right|$$

Число $$4$$ лежит в III четверти, значит $$\cos 4<0$$ и, кроме того, $$\cos 4<-\frac12$$. Поэтому

$$\left|\cos 4+\frac12\right|=-(\cos 4+\tfrac12),\qquad \left|\cos 4-\frac12\right|=-(\cos 4-\tfrac12)$$

Тогда

$$-(\cos 4+\tfrac12)-(\cos 4-\tfrac12)=-2\cos 4$$

Ответ: $$-2\cos 4$$