Упр.6.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\sqrt{\sin^2(1)+\sin^2(2)-2\sin(1)\sin(2)}+\sqrt{\frac{1}{4}-\sin(1)+\sin^2(1)}+\sqrt{1+\sin^2(2)-2\sin(2)}$$

а)

$$\sqrt{\sin^2 1+\sin^2 2-2\sin 1\sin 2}+\sqrt{\frac14-\sin 1+\sin^2 1}+\sqrt{1+\sin^2 2-2\sin 2}$$
$$=\sqrt{(\sin 1-\sin 2)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\sin 1\right)^2}+\sqrt{(1-\sin 2)^2}$$
$$=|\sin 1-\sin 2|+\left|\frac12-\sin 1\right|+|1-\sin 2|.$$

Так как $$0<1<\frac{\pi}{2}$$ и $$\frac{\pi}{2}<2<\pi,$$ то
$$\sin 1>\sin 2,\qquad \sin 1>\frac12,\qquad \sin 2<1.$$
Значит,
$$|\sin 1-\sin 2|=\sin 1-\sin 2,\quad \left|\frac12-\sin 1\right|=\sin 1-\frac12,\quad |1-\sin 2|=1-\sin 2.$$
Тогда
$$\sin 1-\sin 2+\sin 1-\frac12+1-\sin 2=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.

б)

$$\sqrt{\cos^2 6+\cos^2 7-2\cos 6\cos 7}+\sqrt{\frac14-\cos 7+\cos^2 7}+\sqrt{1+\cos^2 6-2\cos 6}$$
$$=\sqrt{(\cos 6-\cos 7)^2}+\sqrt{\left(\frac12-\cos 7\right)^2}+\sqrt{(1-\cos 6)^2}$$
$$=|\cos 6-\cos 7|+\left|\frac12-\cos 7\right|+|1-\cos 6|.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<6<2\pi$$ и $$2\pi<7<\frac{7\pi}{3},$$ то
$$\cos 6>0,\qquad \cos 7>\frac12,\qquad \cos 6>\cos 7.$$
Следовательно,
$$|\cos 6-\cos 7|=\cos 6-\cos 7,\quad \left|\frac12-\cos 7\right|=\cos 7-\frac12,\quad |1-\cos 6|=1-\cos 6.$$
Тогда
$$\cos 6-\cos 7+\cos 7-\frac12+1-\cos 6=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.