Упр.6.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\sin t>0$$; б) $$\sin t<\frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$\sin t<0$$; г) $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Для решения используем значения синуса на единичной окружности.

а) $$\sin t>0$$

Синус положителен в верхней полуплоскости, то есть при

$$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin t<\frac{\sqrt3}{2}$$

Равенство $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Значит, меньше этого значения синус на промежутке между этими точками не бывает, а также вне дуги между ними:

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin t<0$$

Синус отрицателен в нижней полуплоскости, поэтому

$$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin t>\frac{\sqrt3}{2}$$

Равенство $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}$$ достигается при

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно, искомое неравенство выполняется между этими значениями:

$$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$