Упр.6.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Расположим данные значения по возрастанию, учитывая четверть, в которой лежит угол, и монотонность синуса и косинуса на соответствующих промежутках.

а)

$$\sin 2,\ \sin 3,\ \cos 4,\ \cos 5$$

$$\frac{\pi}{2}<2<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<5<2\pi$$

Тогда:

$$\sin 2>0,\ \sin 3>0,\ \cos 4<0,\ \cos 5>0$$

На второй четверти синус убывает, значит $$\sin 2>\sin 3.$$

Сравним $$\sin 2$$ и $$\cos 5$$ через формулы приведения:

$$\sin 2=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right),\qquad \cos 5=\cos(2\pi-5)$$

Так как $$\frac{\pi}{2}-2<2\pi-5,$$ то $$\sin 2>\cos 5.$$

Следовательно,

$$\cos 4<\sin 3<\cos 5<\sin 2.$$

б)

$$\cos 3,\ \cos 4,\ \cos 6,\ \cos 7$$

$$\frac{\pi}{2}<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<6<2\pi,\qquad 2\pi<7<\frac{5\pi}{2}$$

Тогда:

$$\cos 3<0,\ \cos 4<0,\ \cos 6>0,\ \cos 7>0$$

Сравним отрицательные значения:

$$\cos 3=-\cos(\pi-3),\qquad \cos 4=-\cos(4-\pi)$$

Так как $$\pi-3<4-\pi,$$ то $$\cos(\pi-3)>\cos(4-\pi),$$ значит $$\cos 3<\cos 4.$$

Сравним положительные значения:

$$\cos 6=\cos(2\pi-6),\qquad \cos 7=\cos(7-2\pi)$$

Так как $$2\pi-6<7-2\pi,$$ то $$\cos 6>\cos 7.$$

Итак,

$$\cos 3<\cos 4<\cos 7<\cos 6.$$

в)

$$\sin 3,\ \sin 4,\ \sin 6,\ \sin 7$$

$$\frac{\pi}{2}<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<6<2\pi,\qquad 2\pi<7<\frac{5\pi}{2}$$

Тогда:

$$\sin 3>0,\ \sin 4<0,\ \sin 6<0,\ \sin 7>0$$

Сравним отрицательные значения:

$$\sin 4=-\sin(4-\pi),\qquad \sin 6=-\sin(2\pi-6)$$

Так как $$4-\pi>2\pi-6,$$ то $$\sin(4-\pi)>\sin(2\pi-6),$$ значит $$\sin 4<\sin 6.$$

Сравним положительные значения:

$$\sin 3=\sin(\pi-3),\qquad \sin 7=\sin(7-2\pi)$$

Так как $$\pi-3<7-2\pi,$$ то $$\sin 3<\sin 7.$$

Следовательно,

$$\sin 4<\sin 6<\sin 3<\sin 7.$$

г)

$$\cos 2,\ \cos 3,\ \sin 4,\ \sin 5$$

$$\frac{\pi}{2}<2<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<5<2\pi$$

Тогда:

$$\cos 2<0,\ \cos 3<0,\ \sin 4<0,\ \sin 5>0$$

Сравним отрицательные значения:

$$\cos 2=-\sin\left(2-\frac{\pi}{2}\right),\qquad \cos 3=-\sin\left(3-\frac{\pi}{2}\right),\qquad \sin 4=-\sin(4-\pi)$$

Так как

$$2-\frac{\pi}{2}<3-\frac{\pi}{2}<4-\pi,$$

то

$$\cos 3<\cos 2<0,\qquad \sin 4<\cos 3.$$

Кроме того, $$\sin 5>0.$$

Итак,

$$\sin 4<\cos 3<\cos 2<\sin 5.$$

Ответ

а) $$\cos 4<\sin 3<\cos 5<\sin 2$$

б) $$\cos 3<\cos 4<\cos 7<\cos 6$$

в) $$\sin 4<\sin 6<\sin 3<\sin 7$$

г) $$\sin 4<\cos 3<\cos 2<\sin 5$$