Упр.6.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Расположите в порядке возрастания числа: а) $$\sin\frac{\pi}{7}$$, $$\sin\frac{\pi}{5}$$, $$\sin\frac{2\pi}{3}$$, $$\sin\frac{7\pi}{6}$$, $$\sin\frac{4\pi}{3}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{8}$$, $$\cos\frac{\pi}{3}$$, $$\cos\frac{5\pi}{6}$$, $$\cos\frac{5\pi}{4}$$, $$\cos\frac{7\pi}{4}$$.

а) Сначала сравним знаки значений синуса:

$$0<\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{5}<\frac{\pi}{2},$$

значит, $$\sin\frac{\pi}{7}>0,\quad \sin\frac{\pi}{5}>0.$$

Также

$$\frac{\pi}{2}<\frac{2\pi}{3}<\pi,$$

поэтому $$\sin\frac{2\pi}{3}>0.$$

А числа $$\frac{7\pi}{6}$$ и $$\frac{4\pi}{3}$$ лежат в III четверти, значит их синусы отрицательны. В III четверти синус убывает, поэтому

$$\sin\frac{4\pi}{3}<\sin\frac{7\pi}{6}<0.$$

В I четверти синус возрастает, следовательно

$$\sin\frac{\pi}{7}<\sin\frac{\pi}{5}<\sin\frac{2\pi}{3}.$$

Итак, в порядке возрастания:

$$\sin\frac{4\pi}{3},\ \sin\frac{7\pi}{6},\ \sin\frac{\pi}{7},\ \sin\frac{\pi}{5},\ \sin\frac{2\pi}{3}.$$

б) Сравним значения косинуса:

$$0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2},$$

значит, $$\cos\frac{\pi}{8}>0,\quad \cos\frac{\pi}{3}>0.$$

Числа $$\frac{5\pi}{6}$$ и $$\frac{5\pi}{4}$$ лежат во II и III четвертях, поэтому их косинусы отрицательны:

$$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Кроме того, $$\frac{7\pi}{4}$$ лежит в IV четверти, и

$$\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Сравним значения:

$$\cos\frac{5\pi}{6}<\cos\frac{5\pi}{4}<0<\cos\frac{\pi}{3}<\cos\frac{\pi}{8}<\cos\frac{7\pi}{4}.$$

Значит, в порядке возрастания:

$$\cos\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{4},\ \cos\frac{\pi}{3},\ \cos\frac{\pi}{8},\ \cos\frac{7\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\sin\frac{4\pi}{3},\ \sin\frac{7\pi}{6},\ \sin\frac{\pi}{7},\ \sin\frac{\pi}{5},\ \sin\frac{2\pi}{3}.$$

б) $$\cos\frac{5\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{4},\ \cos\frac{\pi}{3},\ \cos\frac{\pi}{8},\ \cos\frac{7\pi}{4}.$$