Упр.6.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сравните числа $$a$$ и $$b$$: а) $$a=\sin(1)$$, $$b=\cos(6)$$; б) $$a=\sin(3)$$, $$b=\cos(4)$$; в) $$a=\cos(2)$$, $$b=\sin(4)$$; г) $$a=\sin(3)$$, $$b=\cos(5)$$.

а) $$a=\sin 1,\quad b=\cos 6$$

Так как $$0<1<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin 1>0.$$

Кроме того, $$\frac{3\pi}{2}<6<2\pi,$$ значит $$\cos 6>0.$$

Сравним значения по близости к максимуму: $$\sin 1=\cos\left(\frac{\pi}{2}-1\right),\quad \cos 6=\cos(2\pi-6).$$

Имеем $$\frac{\pi}{2}-1\approx 0{,}57,\quad 2\pi-6\approx 0{,}28,$$ поэтому $$\cos 6>\sin 1.$$

Следовательно, $$a<b.$$

б) $$a=\sin 3,\quad b=\cos 4$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<3<\pi,$$ то $$\sin 3>0.$$

А поскольку $$\pi<4<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos 4<0.$$

Значит, $$a>b.$$

в) $$a=\cos 2,\quad b=\sin 4$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<2<\pi,$$ то $$\cos 2<0.$$

А поскольку $$\pi<4<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\sin 4<0.$$

Сравним модули:

$$\cos 2=-\sin\left(2-\frac{\pi}{2}\right),\quad \sin 4=-\sin(4-\pi).$$

Имеем $$2-\frac{\pi}{2}\approx 0{,}43,\quad 4-\pi\approx 0{,}86,$$ значит $$|\cos 2|<|\sin 4|.$$

Оба числа отрицательны, поэтому $$\cos 2>\sin 4.$$

Следовательно, $$a>b.$$

г) $$a=\sin 3,\quad b=\cos 5$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<3<\pi,$$ то $$\sin 3>0.$$

А поскольку $$\frac{3\pi}{2}<5<2\pi,$$ то $$\cos 5>0.$$

Сравним значения:

$$\sin 3=\sin(\pi-3),\quad \cos 5=\cos(2\pi-5).$$

Имеем $$\pi-3\approx 0{,}14,\quad 2\pi-5\approx 1{,}28,$$ значит $$\sin 3<\cos 5.$$

Следовательно, $$a<b.$$

Ответ

а) $$a<b$$; б) $$a>b$$; в) $$a>b$$; г) $$a<b$$.