Упр.6.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\operatorname{ctg}(5)\cdot(x-1)\geq 0$$;
   б) $$\frac{\operatorname{tg}(7)\cos(1)}{\sin(1)}\cdot(2x^2-72)<0$$;
   в) $$\operatorname{tg}(2)\sin(5)\cdot(7-5x)\leq 0$$;
   г) $$\operatorname{tg}(1)\operatorname{ctg}(2)\operatorname{tg}(3)\operatorname{ctg}(4)\cdot(x^2+2)>0$$.

а) Так как $$\ctg 5<0,$$ то неравенство

$$\ctg 5\cdot(x-1)\ge 0$$

равносильно неравенству

$$x-1\le 0,$$

откуда

$$x\le 1.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{\tg 7\cdot \cos 1}{\sin 1}\cdot(2x^2-72)<0.$$

Так как

$$\frac{\cos 1}{\sin 1}=\ctg 1,$$

получаем

$$\tg 7\cdot \ctg 1\cdot(2x^2-72)<0.$$

Здесь $$\tg 7>0,$$ $$\ctg 1>0,$$ значит

$$2x^2-72<0.$$

Тогда

$$x^2<36,$$

$$-6<x<6.$$

в) Так как $$\tg 2<0$$ и $$\sin 5<0,$$ то

$$\tg 2\cdot \sin 5>0.$$

Следовательно, неравенство

$$\tg 2\cdot \sin 5\cdot(7-5x)\le 0$$

равносильно неравенству

$$7-5x\le 0,$$

откуда

$$x\ge \frac{7}{5}.$$

г) Рассмотрим знак множителя:

$$\tg 1>0,\quad \ctg 2<0,\quad \tg 3<0,\quad \ctg 4>0.$$

Тогда

$$\tg 1\cdot \ctg 2\cdot \tg 3\cdot \ctg 4>0.$$

Кроме того,

$$x^2+2>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

Значит, неравенство

$$\tg 1\cdot \ctg 2\cdot \tg 3\cdot \ctg 4\cdot (x^2+2)>0$$

выполняется при всех действительных $$x.$$

Ответ: а) $$x\le 1$$; б) $$-6<x<6$$; в) $$x\ge \frac{7}{5}$$; г) $$x\in \mathbb{R}.$$