Упр.6.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Определите знак разности:

а) $$\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)-\sin\left(\frac{10\pi}{9}\right)$$;

б) $$\sin(1)-\sin(1{,}1)$$;

в) $$\sin\left(\frac{15\pi}{8}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$;

г) $$\cos(1)-\cos(0{,}9)$$.

Определим знак каждой разности, используя монотонность тригонометрических функций на соответствующих промежутках.

1. $$0<\frac{2\pi}{9}<\frac{\pi}{2}, \qquad \pi<\frac{10\pi}{9}<\frac{3\pi}{2}$$

   Значит, $$\sin\frac{2\pi}{9}>0,$$ а $$\sin\frac{10\pi}{9}<0.$$

   Тогда

   $$\sin\frac{2\pi}{9}-\sin\frac{10\pi}{9}>0.$$

2. $$0<1<1{,}1<\frac{\pi}{2}$$

   На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\sin x$$ возрастает, поэтому

   $$\sin 1<\sin 1{,}1.$$

   Следовательно,

   $$\sin 1-\sin 1{,}1<0.$$

3. $$\frac{3\pi}{2}<\frac{15\pi}{8}<2\pi, \qquad 0<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$$

   Значит, $$\sin\frac{15\pi}{8}<0,$$ а $$\cos\frac{\pi}{4}>0.$$

   Тогда

   $$\sin\frac{15\pi}{8}-\cos\frac{\pi}{4}<0.$$

4. $$0<0{,}9<1<\frac{\pi}{2}$$

   На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\cos x$$ убывает, поэтому

   $$\cos 1<\cos 0{,}9.$$

   Следовательно,

   $$\cos 1-\cos 0{,}9<0.$$

Ответ: а) $$>0$$; б) $$<0$$; в) $$<0$$; г) $$<0$$.