Упр.6.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$|\sin(t)|=1$$;
  б) $$\sqrt{1-\sin^2(t)}=\frac{1}{2}$$;
  в) $$|\cos(t)|=1$$;
  г) $$\sqrt{1-\cos^2(t)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

а) $$|\sin t|=1$$

Тогда $$\sin t=\pm 1.$$

Значения синуса, равные $$1$$ и $$-1,$$ достигаются при

$$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя, получаем

$$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{1-\sin^2 t}=\frac12$$

Используем тождество $$1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$ Тогда

$$\sqrt{\cos^2 t}=\frac12,$$

то есть

$$|\cos t|=\frac12.$$

Следовательно,

$$\cos t=\pm \frac12.$$

Отсюда

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

в) $$|\cos t|=1$$

Тогда $$\cos t=\pm 1.$$

Значения косинуса, равные $$1$$ и $$-1,$$ достигаются при

$$t=2\pi n \quad \text{и} \quad t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$t=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{1-\cos^2 t}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Так как $$1-\cos^2 t=\sin^2 t,$$ получаем

$$\sqrt{\sin^2 t}=\frac{\sqrt2}{2},$$

то есть

$$|\sin t|=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin t=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$t=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$t=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$t=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$t=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z$$