Упр.6.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. 6-31. а) $$\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt{2}\sin(t)=0$$; б) $$\sqrt{\frac{4}{3}}\cos(t)=\cos^2(1)+\sin^2(1)$$.

а) $$\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}-\sqrt2\sin t=0$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ получаем:

$$1-\sqrt2\sin t=0$$

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Отсюда:

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{\frac{4}{3}}\cos t=\cos^2 1+\sin^2 1$$

Так как $$\cos^2 1+\sin^2 1=1,$$ имеем:

$$\sqrt{\frac{4}{3}}\cos t=1$$

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{4/3}}=\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда:

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$t=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$