Упр.6.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\mathrm{tg}(2{,}5)\cdot\mathrm{ctg}(2{,}5)+\cos^2(\pi)-\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$$

б) $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{7}\right)-2\mathrm{tg}(1)\cdot\mathrm{ctg}(1)+\cos^2\left(-\frac{3\pi}{7}\right)+\sin^2\left(\frac{5\pi}{2}\right)$$

а) Используем тождество $$\tg x \cdot \ctg x=1$$ и формулу $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$\tg 2{,}5 \cdot \ctg 2{,}5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 + (-1)^2 — \left(\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8}\right) = 1 + 1 — 1 = 1.$$

Ответ: 1.

б) Аналогично применим основные тригонометрические тождества:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2\tg 1 \cdot \ctg 1 + \cos^2 \left(-\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}$$

$$= \left(\sin^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7}\right) — 2 \cdot 1 + \sin^2 \left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1 — 2 + \sin^2 \left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 — 2 + 1 = 0.$$

Ответ: 0.