Упр.6.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\cos(1)+\cos(1+\pi)+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$\sin(2)+\sin(2+\pi)+\cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)$$.

а) Используем свойства тригонометрических функций:

$$\cos(1+\pi)=-\cos 1,\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3},\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\cos 1+\cos(1+\pi)+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos 1-\cos 1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.$$

б) Аналогично:

$$\sin(2+\pi)=-\sin 2,\qquad \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{\pi}{12},\qquad \sin^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\sin^2\frac{\pi}{12}.$$

Тогда

$$\sin 2+\sin(2+\pi)+\cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\sin^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \sin 2-\sin 2+\cos^2\frac{\pi}{12}+\sin^2\frac{\pi}{12}=1.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$1$$.