Упр.6.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\cos(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   б) $$\sin(t)=-\frac{1}{2}$$;
   в) $$\cos(t)=-\frac{1}{2}$$;
   г) $$\sin(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

а) $$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

На единичной окружности это значение косинуса соответствует углам $$\frac{\pi}{4}$$ и $$-\frac{\pi}{4}$$. Поэтому

$$t=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sin t=-\frac{1}{2}$$

Значение синуса $$-\frac{1}{2}$$ достигается при углах $$-\frac{\pi}{6}$$ и $$-\frac{5\pi}{6}$$. Следовательно,

$$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Это можно записать и так:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$\cos t=-\frac{1}{2}$$

Подходящие углы: $$\frac{2\pi}{3}$$ и $$-\frac{2\pi}{3}$$. Тогда

$$t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) $$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это значение синуса соответствует углам $$\frac{\pi}{4}$$ и $$\frac{3\pi}{4}$$. Поэтому

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Или в компактной форме:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$t=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

б) $$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

в) $$t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

г) $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$