Упр.6.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\sin(t)\cdot\operatorname{ctg}(t)=\cos(t)$$;

б) $$\frac{\sin(t)}{\operatorname{tg}(t)}=\cos(t)$$;

в) $$\operatorname{ctg}(t)\cdot\operatorname{tg}(t)=\sin(t)$$;

г) $$\frac{\cos(t)}{\operatorname{ctg}(t)}=\sin t$$.

Используем определения тригонометрических функций:

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}, \qquad \ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}.$$

а)

$$\sin t\cdot \ctg t=\sin t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=\cos t.$$

б)

$$\frac{\sin t}{\tg t}=\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}}=\cos t.$$

в)

$$\ctg t\cdot \tg t=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1.$$

Следовательно, равенство $$\ctg t\cdot \tg t=\sin t$$ неверно, тождеством не является.

г)

$$\frac{\cos t}{\ctg t}=\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}}=\sin t.$$

Ответ: а), б), г) — тождества; в) — не является тождеством, так как $$\ctg t\cdot \tg t=1.$$