Упр.59.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Система $$\begin{cases}3\sqrt[3]{x+y}=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2\sqrt[3]{x+y}=6.\end{cases}$$

Пусть $$a=\sqrt[3]{x+y}, \qquad b=\log_2 x^2.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 3a=4+b,\\ b+2a=6. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=3a-4$$. Подставим во второе:

$$(3a-4)+2a=6,$$

$$5a=10,\qquad a=2.$$

Тогда

$$b=3\cdot 2-4=2.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt[3]{x+y}=2 \Rightarrow x+y=8,$$

$$\log_2 x^2=2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Если $$x=-2,$$ то $$y=8-(-2)=10.$$

Если $$x=2,$$ то $$y=8-2=6.$$

Ответ: $$(-2; 10),\ (2; 6).$$

Ход решения

Пусть $$u=3^{x-y}, \qquad t=|2y-x|.$$

Тогда система запишется так:

$$\begin{cases} u-7t=2,\\ t-\dfrac{u}{3}=-2. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$3t-u=-6.$$

Сложим уравнения:

$$(u-7t)+(3t-u)=2+(-6),$$

$$-4t=-4,\qquad t=1.$$

Тогда

$$u=2+7\cdot 1=9.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$3^{x-y}=9=3^2 \Rightarrow x-y=2,$$

$$|2y-x|=1.$$

Из $$x-y=2$$ получаем $$y=x-2$$. Подставим в модуль:

$$|2(x-2)-x|=1,$$

$$|x-4|=1.$$

Отсюда:

$$x-4=1 \Rightarrow x=5,\qquad y=3;$$

$$x-4=-1 \Rightarrow x=3,\qquad y=1.$$

Ответ: $$(5; 3),\ (3; 1).$$