Упр.59.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Система $$\begin{cases} 2x+3y=12, \\ \log_6^2(xy)+1=2\log_6(xy). \end{cases}$$

а) Обозначим $$t=\log_6(xy).$$ Тогда из второго уравнения получаем

$$t^2+1=2t,$$

$$t^2-2t+1=0,$$

$$\left(t-1\right)^2=0,$$

$$t=1.$$

Возвращаясь к замене, имеем

$$\log_6(xy)=1,$$

$$xy=6.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2x+3y=12,\\ xy=6. \end{cases}$$

Подставим $$y=\dfrac{6}{x}$$ в первое уравнение:

$$2x+3\cdot \frac{6}{x}=12,$$

$$2x+\frac{18}{x}=12,$$

$$2x^2-12x+18=0,$$

$$x^2-6x+9=0,$$

$$\left(x-3\right)^2=0,$$

$$x=3.$$

Тогда

$$y=\frac{6}{3}=2.$$

Ответ: $$\left(3;2\right).$$

б) Обозначим $$t=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда первое уравнение можно записать так:

$$t^2=10-3t,$$

$$t^2+3t-10=0,$$

$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$

Так как $$t=\sqrt[4]{xy}\ge 0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Следовательно,

$$\sqrt[4]{xy}=2,$$

$$xy=16.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} xy=16,\\ 2x-5y=6. \end{cases}$$

Подставим $$y=\dfrac{16}{x}$$ во второе уравнение:

$$2x-5\cdot \frac{16}{x}=6,$$

$$2x-\frac{80}{x}=6,$$

$$2x^2-6x-80=0,$$

$$x^2-3x-40=0,$$

$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)=0.$$

С учётом условия $$x\ge 0,\ y\ge 0$$ получаем $$x=8.$$ Тогда

$$y=\frac{16}{8}=2.$$

Ответ: $$\left(8;2\right).$$