Упр.59.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

а) $$\begin{cases}\frac{5}{3x-y}+\frac{3}{x-3y}=-2,\\[4pt]\frac{15}{3x-y}+\frac{2}{x-3y}=1.\end{cases}$$

Пусть $$u=\frac{1}{3x-y}, \qquad t=\frac{1}{x-3y}.$$ Тогда исходная система принимает вид

$$\begin{cases} 5u+3t=-2,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} 15u+9t=-6,\\ 15u+2t=1. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$7t=-7,\qquad t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5u+3(-1)=-2,$$

$$5u=1,\qquad u=\frac{1}{5}.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \frac{1}{3x-y}=\frac{1}{5},\\ \frac{1}{x-3y}=-1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=-1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=3x-5$$. Подставим во второе:

$$x-3(3x-5)=-1,$$

$$x-9x+15=-1,$$

$$-8x=-16,\qquad x=2.$$

Тогда

$$y=3\cdot 2-5=1.$$

Ответ: $$\left(2;\,1\right).$$

Пусть $$u=\frac{1}{x+y}, \qquad t=\frac{1}{x-y}.$$ Тогда

$$\begin{cases} 3u+6t=-1,\\ 5u+9t=-2. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 9u+18t=-3,\\ 10u+18t=-4. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$u=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3(-1)+6t=-1,$$

$$6t=2,\qquad t=\frac{1}{3}.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \frac{1}{x+y}=-1,\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{3}. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x+y=-1,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=2,\qquad x=1.$$

Тогда

$$y=-1-x=-2.$$

Ответ: $$\left(1;\,-2\right).$$