Упр.59.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}\log_2 x-\log_3 y=-5,\\2\log_2 x+3\log_3 y=0;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}\cos x+\cos 2y=-0{,}5,\\3\cos 2y-\cos x=2{,}5.\end{cases}$$

а) Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{aligned} \log_2 x-\log_3 y&=-5 \\ 2\log_2 x+3\log_3 y&=0 \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} 3\log_2 x-3\log_3 y&=-15 \\ 2\log_2 x+3\log_3 y&=0 \end{aligned}$$

Сложим уравнения:

$$5\log_2 x=-15,\qquad \log_2 x=-3$$

Тогда

$$x=2^{-3}=\frac18$$

Из первого уравнения:

$$-3-\log_3 y=-5,\qquad \log_3 y=2,\qquad y=3^2=9$$

Ответ: $$\left(\frac18;9\right)$$

б) Сложим уравнения системы:

$$\begin{aligned} \cos x+\cos 2y&=-0{,}5 \\ 3\cos 2y-\cos x&=2{,}5 \end{aligned} \Rightarrow 4\cos 2y=2$$

Отсюда

$$\cos 2y=\frac12$$

Тогда

$$2y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Из первого уравнения:

$$\cos x+\frac12=-\frac12,\qquad \cos x=-1$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$\left(\pi+2\pi k;\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z$$

в) Из второго уравнения:

$$2\sqrt{2x+y}-2^{x+2y}=-2 \Rightarrow 2\sqrt{2x+y}=2^{x+2y}-2$$

Удобнее сложить уравнения системы:

$$\begin{aligned} 2^{x+2y}-\sqrt{2x+y}&=6 \\ 3\sqrt{2x+y}-2^{x+2y}&=-2 \end{aligned} \Rightarrow 2\sqrt{2x+y}=4$$

Значит,

$$\sqrt{2x+y}=2,\qquad 2x+y=4$$

Из первого уравнения системы:

$$2^{x+2y}-2=6,\qquad 2^{x+2y}=8=2^3$$

Следовательно,

$$x+2y=3$$

Решаем систему:

$$\begin{aligned} 2x+y&=4 \\ x+2y&=3 \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} 4x+2y&=8 \\ x+2y&=3 \end{aligned}$$

Вычитаем:

$$3x=5,\qquad x=\frac53$$

Тогда

$$y=4-2\cdot\frac53=\frac23$$

Ответ: $$\left(\frac53;\frac23\right)$$

г) Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{aligned} 2\sin 2x+\tg 3y&=2 \\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1 \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} 4\sin 2x+2\tg 3y&=4 \\ 6\sin 2x-2\tg 3y&=1 \end{aligned}$$

Сложим уравнения:

$$10\sin 2x=5,\qquad \sin 2x=\frac12$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$

Из первого уравнения:

$$2\cdot\frac12+\tg 3y=2,\qquad \tg 3y=1$$

Значит,

$$3y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad y=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\right),\ n,k\in\mathbb Z$$