Упр.59.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Три числа в заданном порядке образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Пусть $$a,\;b,\;c$$ — искомые числа. Тогда по условию:

$$\begin{cases} b^2=ac,\\ a+c=2(b+6),\\ a(c+48)=(b+6)^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$a+c=2b+12.$$

Из третьего уравнения:

$$a(c+48)=(b+6)^2.$$

Вычтем из квадрата суммы квадрат разности:

$$(a+c)^2-(a-c)^2=4ac.$$

Так как $$ac=b^2$$, а из третьего уравнения

$$ac+48a=(b+6)^2,$$

то

$$b^2+48a=b^2+12b+36,$$

откуда

$$48a=12b+36,$$

$$4a=b+3,$$

$$b=4a-3.$$

Тогда из $$a+c=2(b+6)$$ получаем

$$a+c=2(4a-3+6)=8a+6,$$

$$c=7a+6.$$

Подставим в равенство $$b^2=ac$$:

$$(4a-3)^2=a(7a+6).$$

Раскроем скобки:

$$16a^2-24a+9=7a^2+6a,$$

$$9a^2-30a+9=0,$$

$$3a^2-10a+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$a=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем:

$$a_1=\frac13,\qquad a_2=3.$$

Найдём соответствующие значения $$b$$ и $$c$$:

$$a=\frac13 \Rightarrow b=4\cdot \frac13-3=-\frac53,\quad c=7\cdot \frac13+6=\frac{25}{3};$$

$$a=3 \Rightarrow b=4\cdot 3-3=9,\quad c=7\cdot 3+6=27.$$

Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условию.

Ответ: $$\frac13,\;-\frac53,\;\frac{25}{3}$$ или $$3,\;9,\;27$$.