Упр.59.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Пусть $$a,$$ $$b,$$ $$c$$ — цифры задуманного числа. Тогда

$$\begin{cases} a+b+c=8,\\ a^2+b^2+c^2=26,\\ 100a+10b+c+198=100c+10b+a. \end{cases}$$

Из третьего уравнения получаем:

$$100a+10b+c+198=100c+10b+a$$

$$99a-99c+198=0$$

$$99(a-c)=-198$$

$$a-c=-2,\quad a=c-2.$$

Из первого уравнения:

$$(c-2)+b+c=8$$

$$b=10-2c.$$

Подставим в второе уравнение:

$$(c-2)^2+(10-2c)^2+c^2=26$$

$$c^2-4c+4+100-40c+4c^2+c^2=26$$

$$6c^2-44c+78=0$$

$$3c^2-22c+39=0$$

$$(3c-13)(c-3)=0.$$

Так как $$c$$ — цифра, то $$c=\dfrac{13}{3}$$ не подходит, значит $$c=3$$.

Тогда

$$a=c-2=1,\qquad b=10-2\cdot 3=4.$$

Искомое число: $$143$$.

Ответ: 143.