Упр.59.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Составьте уравнение параболы $$y=ax^2+bx+c$$, если известно, что она проходит через точки $$M$$, $$P$$, $$Q$$:
а) $$M(1;-2)$$, $$P(-1;8)$$, $$Q(2;-1)$$;
б) $$M(-1;6)$$, $$P(2;9)$$, $$Q(1;2)$$.

Пусть искомая парабола имеет вид $$y=ax^2+bx+c.$$ Тогда координаты каждой из данных точек удовлетворяют этому уравнению.

а)

Для точек $$M(1;-2),\ P(-1;8),\ Q(2;-1)$$ получаем систему:

$$\begin{cases} a+b+c=-2,\\ a-b+c=8,\\ 4a+2b+c=-1. \end{cases}$$

Сложим первые два уравнения:

$$2a+2c=6,\qquad a+c=3.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2b=-10,\qquad b=-5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$a-5+c=-2,\qquad a+c=3.$$

Из системы $$a+c=3$$ и $$4a+2b+c=-1$$, подставив $$b=-5$$, получаем:

$$4a-10+c=-1,\qquad 4a+c=9.$$

Вычтем из этого уравнения $$a+c=3$$:

$$3a=6,\qquad a=2.$$

Тогда

$$c=3-a=1.$$

Следовательно,

$$y=2x^2-5x+1.$$

б)

Для точек $$M(-1;6),\ P(2;9),\ Q(1;2)$$ составим систему:

$$\begin{cases} a-b+c=6,\\ 4a+2b+c=9,\\ a+b+c=2. \end{cases}$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$2a+2c=8,\qquad a+c=4.$$

Вычтем третье уравнение из первого:

$$-2b=4,\qquad b=-2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$a-(-2)+c=6,\qquad a+c=4.$$

Из второго уравнения системы:

$$4a+2(-2)+c=9,\qquad 4a+c=13.$$

Вычтем из него уравнение $$a+c=4$$:

$$3a=9,\qquad a=3.$$

Тогда

$$c=4-a=1.$$

Искомая парабола:

$$y=3x^2-2x+1.$$

Ответ

а) $$y=2x^2-5x+1$$; б) $$y=3x^2-2x+1$$.