Упр.59.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases} x+y=-1, \\ x-z=2, \\ xy+xz+yz=-1; \end{cases}$$
2. б) система $$\begin{cases} x+y+2z=0, \\ x+2y+z=1, \\ x^2+y^2+x^2=5. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$, а из второго — $$z$$:

$$y=-1-x,\qquad z=x-2$$

Подставим в третье уравнение:

$$x(-1-x)+x(x-2)+(-1-x)(x-2)=-1$$

$$-x-x^2+x^2-2x-x^2+2x+1=-1$$

$$-x^2-2x+3=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

$$x_1=-3,\qquad x_2=1$$

Тогда:

$$x=-3 \Rightarrow y=2,\ z=-5$$

$$x=1 \Rightarrow y=-2,\ z=-1$$

Ответ: $$(-3;\ 2;\ -5),\ (1;\ -2;\ -1)$$

б) Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=-y-2z$$

Подставим во второе уравнение:

$$(-y-2z)+2y+z=1$$

$$y-z=1,\qquad y=1+z$$

Тогда

$$x=-(1+z)-2z=-1-3z$$

Подставим в третье уравнение:

$$(-1-3z)^2+(1+z)^2+z^2=5$$

$$1+6z+9z^2+1+2z+z^2+z^2=5$$

$$11z^2+8z-3=0$$

$$D=8^2+4\cdot 11\cdot 3=196$$

$$z_{1,2}=\frac{-8\pm 14}{22}$$

$$z_1=-1,\qquad z_2=\frac{3}{11}$$

Найдём соответствующие значения $$x$$ и $$y$$:

$$z=-1 \Rightarrow y=0,\ x=2$$

$$z=\frac{3}{11} \Rightarrow y=\frac{14}{11},\ x=-\frac{20}{11}$$

Ответ: $$(2;\ 0;\ -1),\ \left(-\frac{20}{11};\ \frac{14}{11};\ \frac{3}{11}\right)$$