Упр.59.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему трёх уравнений с тремя переменными: а) $$\begin{cases}x+2y-3z=-3,\\2x-3y+z=8,\\-x+y-5z=-8;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}3x-5y+z=-13,\\x+3y-2z=5,\\2x-2y+5z=-6.\end{cases}$$

а) Из первого и третьего уравнений сложим почленно:

$$(x+2y-3z)+(-x+y-5z)=-3+(-8)$$

$$3y-8z=-11$$

$$y=\frac{8z-11}{3}$$

Из третьего уравнения:

$$-x+y-5z=-8$$

$$x=y-5z+8$$

Подставим найденное значение $$y$$:

$$x=\frac{8z-11}{3}-5z+8=\frac{8z-11-15z+24}{3}=\frac{13-7z}{3}$$

Подставим $$x$$ и $$y$$ во второе уравнение:

$$2\cdot\frac{13-7z}{3}-3\cdot\frac{8z-11}{3}+z=8$$

$$\frac{26-14z-24z+33}{3}=8-z$$

$$59-38z=24-3z$$

$$35z=35$$

$$z=1$$

Тогда

$$y=\frac{8\cdot1-11}{3}=-1,\qquad x=\frac{13-7\cdot1}{3}=2$$

Ответ: $$(2;\,-1;\,1).$$

б) Вычтем из первого уравнения второе и третье:

$$(3x-5y+z)-(x+3y-2z)= -13-5$$

$$2x-8y+3z=-18$$

Удобнее выразить $$z$$ из первого уравнения:

$$z=-13-3x+5y$$

Из второго уравнения:

$$x+3y-2z=5$$

$$x=5-3y+2z$$

Подставим $$z=-13-3x+5y$$ в это выражение:

$$x=5-3y+2(-13-3x+5y)$$

$$x=5-3y-26-6x+10y$$

$$7x-7y+21=0$$

$$x=y-3$$

Подставим $$x=y-3$$ в выражение для $$z$$:

$$z=-13-3(y-3)+5y= -13-3y+9+5y=2y-4$$

Теперь подставим $$x=y-3$$ и $$z=2y-4$$ в третье уравнение:

$$2(y-3)-2y+5(2y-4)=-6$$

$$2y-6-2y+10y-20=-6$$

$$10y-26=-6$$

$$10y=20$$

$$y=2$$

Тогда

$$x=2-3=-1,\qquad z=2\cdot2-4=0$$

Ответ: $$(-1;\,2;\,0).$$