Упр.59.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}\sin x+\cos y=0,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\frac{1}{2};\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}\cos x+\cos y=0{,}5,\\ \sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75.\end{cases}$$

Пусть $$a=\sin x,\quad b=\cos y.$$ Тогда система

$$\begin{cases} a+b=0,\\ a^2+b^2=\dfrac12 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a=-b.$$ Подставим во второе:

$$(-b)^2+b^2=\dfrac12 \\ 2b^2=\dfrac12 \\ b^2=\dfrac14 \\ b=\pm \dfrac12.$$

Тогда

$$a=-b=\mp \dfrac12.$$

Получаем две пары значений:

$$\sin x=\dfrac12,\quad \cos y=-\dfrac12$$

и

$$\sin x=-\dfrac12,\quad \cos y=\dfrac12.$$

Для первой пары:

$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

Для второй пары:

$$x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k.$$

Теперь решим систему

$$\begin{cases} \cos x+\cos y=0{,}5,\\ \sin^2 x+\sin^2 y=1{,}75 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 y)=1{,}75$$

$$\cos^2 x+\cos^2 y=0{,}25.$$

Пусть $$a=\cos x,\quad b=\cos y.$$ Тогда

$$\begin{cases} a+b=0{,}5,\\ a^2+b^2=0{,}25 \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a=0{,}5-b.$$ Подставим во второе:

$$(0{,}5-b)^2+b^2=0{,}25$$

$$0{,}25-b+b^2+b^2=0{,}25$$

$$2b^2-b=0$$

$$b(2b-1)=0.$$

Отсюда

$$b=0 \quad \text{или} \quad b=\dfrac12.$$

Если $$b=0,$$ то $$a=0{,}5.$$ Значит,

$$\cos x=\dfrac12,\quad \cos y=0,$$

откуда

$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k.$$

Если $$b=\dfrac12,$$ то $$a=0.$$ Значит,

$$\cos x=0,\quad \cos y=\dfrac12,$$

откуда

$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k.$$

Ответ

а) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$

б) $$\left(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$