Упр.59.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\begin{cases}\log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3x-1=\log_32-\log_3y;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_73-\log_7(x-y).\end{cases}$$
а) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\log_{\pi}\pi^2,\\ \log_3 x-1=\log_3 2-\log_3 y. \end{cases}$$
Так как $$\log_{\pi}\pi^2=2,$$ то
$$\log_{13}(x^2+y^2)=0{,}5\cdot 2=1,$$
откуда
$$x^2+y^2=13.$$
Из второго уравнения:
$$\log_3 x-\log_3 3=\log_3 2-\log_3 y,$$
$$\log_3\frac{x}{3}=\log_3\frac{2}{y},$$
$$xy=6.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6. \end{cases}$$
Тогда
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=13+12=25,$$
$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=13-12=1.$$
Следовательно,
$$x+y=\pm 5,\qquad x-y=\pm 1.$$
С учетом условий $$x>0,$$ $$y>0$$ получаем пары:
$$x=2,\ y=3$$
и
$$x=3,\ y=2.$$
Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$
б) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \log_7(x+y)=4\log_7(x-y),\\ \log_7(x+y)=5\log_7 3-\log_7(x-y). \end{cases}$$
Область допустимых значений:
$$x+y>0,\qquad x-y>0.$$
Из первого уравнения:
$$\log_7(x+y)=\log_7(x-y)^4,$$
значит
$$x+y=(x-y)^4.$$
Из второго уравнения:
$$\log_7(x+y)=\log_7 3^5-\log_7(x-y)=\log_7\frac{243}{x-y},$$
поэтому
$$x+y=\frac{243}{x-y}.$$
Обозначим
$$a=x+y,\qquad b=x-y.$$
Тогда
$$\begin{cases} a=b^4,\\ a=\dfrac{243}{b}. \end{cases}$$
Следовательно,
$$b^4=\frac{243}{b},$$
$$b^5=243,$$
$$b=3.$$
Тогда
$$a=3^4=81.$$
Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:
$$\begin{cases} x+y=81,\\ x-y=3. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=84,\qquad x=42.$$
Тогда
$$y=81-42=39.$$
Ответ: $$(42;39).$$
