Упр.59.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}3x=y+1,\\7^{y-2x+2}=7^{y-4x+1}+6.\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}x=2y,\\\log_{\frac{1}{3}}(2y+x)+\log_{\frac{1}{3}}(x-y+1)=\log_3\left(\frac{1}{y+1}\right).\end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$3x=y+1 \Rightarrow y=3x-1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$7^{(3x-1)-2x+2}=7^{(3x-1)-4x+1}+6.$$

Упростим:

$$7^{x+1}=7^{-x}+6.$$

Умножим на $$7^x$$:

$$7\cdot 7^{2x}-6\cdot 7^x-1=0.$$

Сделаем замену $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$7t^2-6t-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot(-1)=36+28=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 8}{14}.$$

Тогда

$$t_1=-\frac17 \quad \text{не подходит},$$

$$t_2=1.$$

Значит,

$$7^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Тогда

$$y=3\cdot 0-1=-1.$$

б) Из первого уравнения:

$$x=2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_{\frac13}(2y+x)+\log_{\frac13}(x-y+1)=\log_3\frac1{y+1}.$$

Получаем:

$$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_3\frac1{y+1}.$$

Так как $$\log_3\frac1{y+1}=-\log_3(y+1)=\log_{\frac13}(y+1),$$ то

$$\log_{\frac13}(4y)+\log_{\frac13}(y+1)=\log_{\frac13}(y+1).$$

Следовательно,

$$\log_{\frac13}(4y)=0,$$

откуда

$$4y=1 \Rightarrow y=\frac14.$$

Тогда

$$x=2y=2\cdot \frac14=\frac12.$$

Ответ

а) $$\left(0;\,-1\right)$$; б) $$\left(\frac12;\,\frac14\right)$$.