Упр.59.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}2^x \cdot 0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}9^x \cdot 3^{y-3}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2^x \cdot 0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5. \end{cases}$$

Так как $$0{,}25=\dfrac14=2^{-2},$$ то

$$2^x \cdot 0{,}25^{-y}=2^x \cdot (2^{-2})^{-y}=2^x \cdot 2^{2y}=2^{x+2y}.$$

Тогда

$$2^{x+2y}=512=2^9,$$

значит,

$$x+2y=9.$$

Из первого уравнения получаем $$x=9-2y.$$ Подставим во второе:

$$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$

Обозначим $$t=\sqrt{y}$$, тогда $$y=t^2$$ и $$t\ge 0$$. Получаем

$$\sqrt{9-2t^2}+2t=5.$$

Перенесём $$2t$$:

$$\sqrt{9-2t^2}=5-2t.$$

Возведём в квадрат:

$$9-2t^2=25-20t+4t^2,$$

$$6t^2-20t+16=0,$$

$$3t^2-10t+8=0.$$

$$D=100-96=4,$$

$$t_1=\frac{10-2}{6}=\frac43,\qquad t_2=\frac{10+2}{6}=2.$$

Тогда

$$y_1=\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9},\qquad y_2=2^2=4.$$

Найдём $$x$$:

$$x_1=9-2\cdot \frac{16}{9}=\frac{49}{9},\qquad x_2=9-2\cdot 4=1.$$

Проверка показывает, что обе пары подходят.

Ответ: $$\left(\frac{49}{9};\frac{16}{9}\right),\ (1;4).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1. \end{cases}$$

Так как $$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$ и $$729=3^6,$$ то

$$3^{2x}\cdot 3^{y-3}=3^6,$$

откуда

$$2x+y-3=6,\qquad 2x+y=9.$$

Из второго уравнения

$$y=9-2x.$$

Подставим во второе уравнение системы:

$$\sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1.$$

Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$, $$t\ge 0$$. Получаем

$$t-\sqrt{9-2t^2}=1,$$

$$\sqrt{9-2t^2}=t-1.$$

Возведём в квадрат:

$$9-2t^2=t^2-2t+1,$$

$$3t^2-2t-8=0.$$

$$D=4+96=100,$$

$$t_1=\frac{2+10}{6}=2,\qquad t_2=\frac{2-10}{6}=-\frac43.$$

Так как $$t\ge 0,$$ берём $$t=2.$$ Тогда

$$x=2^2=4,\qquad y=9-2\cdot 4=1.$$

Ответ: $$(4;1).$$