Упр.59.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• $$\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x+3y}{y+5}}+2=3\sqrt{\dfrac{y+5}{x+3y}},\\ xy+2x=13-4y \end{cases}$$

Пусть $$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}.$$ Тогда из первого уравнения системы получаем

$$u+2=\frac{3}{u}.$$

Умножим на $$u$$:

$$u^2+2u-3=0,$$

$$\left(u+3\right)\left(u-1\right)=0.$$

Так как $$u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}\ge 0,$$ то $$u=-3$$ не подходит, значит $$u=1.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1,$$

$$\frac{x+3y}{y+5}=1,$$

$$x+3y=y+5,$$

$$x=5-2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy+2x=13-4y,$$

$$\left(5-2y\right)y+2\left(5-2y\right)=13-4y,$$

$$5y-2y^2+10-4y=13-4y,$$

$$2y^2-5y+3=0,$$

$$\left(2y-3\right)\left(y-1\right)=0.$$

Отсюда

$$y=\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad y=1.$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

если $$y=\frac{3}{2},$$ то $$x=5-2\cdot \frac{3}{2}=2;$$

если $$y=1,$$ то $$x=5-2\cdot 1=3.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$\left(3;1\right),\ \left(2;\frac{3}{2}\right).$$