Упр.59.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Решите систему $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,\\ xy=216.\end{cases}$$

Пусть $$a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} a+b=5,\\ a^3b^3=216. \end{cases}$$

Так как $$a^3b^3=(ab)^3,$$ то

$$(ab)^3=216 \Rightarrow ab=6.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} a+b=5,\\ ab=6. \end{cases}$$

Числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0,$$

откуда

$$(t-2)(t-3)=0,\quad t=2 \text{ или } t=3.$$

Значит,

$$(a,b)=(2,3) \text{ или } (3,2).$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}=2,\\ \sqrt[3]{y}=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=8,\\ y=27 \end{cases}$$

и

$$\begin{cases} \sqrt[3]{x}=3,\\ \sqrt[3]{y}=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=27,\\ y=8 \end{cases}$$

Ответ: $$(8;27),\ (27;8).$$

Пусть $$a=\sqrt[4]{x}, \quad b=\sqrt[4]{y}.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} a-b=1,\\ \sqrt{xy}=4. \end{cases}$$

Так как $$x=a^4,\ y=b^4,$$ то

$$\sqrt{xy}=\sqrt{a^4b^4}=a^2b^2=(ab)^2.$$

Следовательно,

$$(ab)^2=4 \Rightarrow ab=\pm 2.$$

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$ab=2,$$ то

$$\begin{cases} a-b=1,\\ ab=2 \end{cases}$$

даёт

$$a=2,\quad b=1.$$

Тогда

$$x=2^4=16,\quad y=1^4=1.$$

2) Если $$ab=-2,$$ то из $$a-b=1$$ получаем $$a=-1,\ b=-2,$$ но тогда $$x=(-1)^4=1,\ y=(-2)^4=16,$$ и условие $$a-b=1$$ выполняется, однако для исходной системы нужно $$\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{1}=1,\ \sqrt[4]{y}=\sqrt[4]{16}=2,$$ что не даёт $$a=-1,\ b=-2$$. Поэтому этот случай не подходит.

Итак,

Ответ: $$(16;1).$$