Упр.59.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}\sqrt{x-y}+\sqrt{x+3y}=4,\\2x-y=4;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}6x+2y=10,\\\sqrt{2x+y}+\sqrt{6x-3y}=2.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$2x-y=4 \;\Rightarrow\; y=2x-4.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x-(2x-4)}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4,$$

$$\sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4.$$

Возведём в квадрат:

$$4-x+7x-12+2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=16,$$

$$2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=28-6x,$$

$$\sqrt{(4-x)(7x-12)}=14-3x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$(4-x)(7x-12)=(14-3x)^2,$$

$$-7x^2+40x-48=9x^2-84x+196,$$

$$16x^2-124x+244=0,$$

$$4x^2-31x+61=0.$$

Решая это уравнение, получаем $$x=3$$ или $$x=4$$.

Тогда

$$y=2x-4,$$

$$x=3 \Rightarrow y=2,$$

$$x=4 \Rightarrow y=4.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$6x+2y=10 \;\Rightarrow\; y=5-3x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sqrt{2x+(5-3x)}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2,$$

$$\sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2.$$

Перенесём один корень:

$$\sqrt{15x-15}=2-\sqrt{5-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$15x-15=4-4\sqrt{5-x}+5-x,$$

$$4\sqrt{5-x}=24-16x,$$

$$\sqrt{5-x}=6-4x.$$

Теперь возведём в квадрат ещё раз:

$$5-x=(6-4x)^2,$$

$$5-x=36-48x+16x^2,$$

$$16x^2-47x+31=0,$$

$$(16x-31)(x-1)=0.$$

Отсюда $$x=\frac{31}{16}$$ или $$x=1$$. Значение $$x=\frac{31}{16}$$ не подходит, так как не удовлетворяет области допустимых значений.

Следовательно, $$x=1$$, тогда

$$y=5-3\cdot 1=2.$$

Проверка: $$\sqrt{2\cdot 1+2}+\sqrt{6\cdot 1-3\cdot 2}=\sqrt{4}+\sqrt{0}=2.$$

Ответ

а) $$(3;2),\ (4;4)$$; б) $$(1;2)$$.