Упр.59.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Система $$\sqrt{x+1}-y=2,\quad \log_7(4-x)=y$$;

б) Система $$y+x=1,\quad 2^{x-y}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\cdot\frac{(8^2/3)}{2}$$.

а) Из второго уравнения системы получаем $$y=\log_7(4-x).$$ Подставим в первое уравнение:

$$\sqrt{x+1}-\log_7(4-x)=2.$$

Область допустимых значений:

$$x+1\ge 0,\quad 4-x>0,$$

откуда

$$-1\le x<4.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x+1}-2,\qquad g(x)=\log_7(4-x).$$

На промежутке $$-1\le x<4$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, система имеет не более одного решения. Проверим значение $$x=3$$:

$$\sqrt{3+1}-\log_7(4-3)=2-0=2.$$

Тогда

$$y=\log_7(4-3)=\log_7 1=0.$$

Следовательно, $$x=3,\ y=0.$$

Ответ: $$(3;\,0).$$

б) Из первого уравнения системы имеем

$$y=1-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2^{x-y}=\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}.$$

Упростим правую часть:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4,$$

поэтому

$$\left(\frac14\right)^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}=4\cdot \frac{4}{2}=8=2^3.$$

Тогда

$$2^{x-y}=2^3,$$

значит,

$$x-y=3.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=4,\qquad x=2.$$

Тогда

$$y=1-2=-1.$$

Ответ: $$(2;\,-1).$$