Упр.59.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Система

$$\begin{cases} \sqrt{\frac{y-x}{2x}}-\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{2},\\ 16\sqrt{\frac{x}{x+y}}-7\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1. \end{cases}$$

Пусть $$u=\sqrt{\frac{y-x}{2x}},\qquad t=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} u-t=\frac12,\\ 16t-7u=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=u-\frac12.$$ Подставим во второе:

$$16\left(u-\frac12\right)-7u=1,$$

$$16u-8-7u=1,$$

$$9u=9,\qquad u=1.$$

Тогда

$$t=1-\frac12=\frac12.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt{\frac{y-x}{2x}}=1,\qquad \sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{y-x}{2x}=1,\qquad \frac{x}{x+y}=\frac14.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} y-x=2x,\\ 4x=x+y. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} y=3x,\\ y=3x. \end{cases}$$

Следовательно, $$y=3x.$$

Проверим область допустимых значений: $$x\neq 0,$$ так как в знаменателях стоят $$2x$$ и $$x+y.$$ При $$y=3x$$ имеем $$x+y=4x\neq 0$$, если $$x\neq 0.$$

Значит, решение имеет вид

$$(x;y)=(c;3c),\qquad c\neq 0.$$

Ответ

$$(c;3c),\ c\neq 0.$$