Упр.59.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}2\sin(x+y)-3\cos(x-y)=5,\\7\cos(x-y)+5\sin(x+y)=-2;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}x^4-y^4=15,\\x^4+y^4=17.\end{cases}$$

а) Сделаем замену: $$u=\sin(x+y), \quad t=\cos(x-y).$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} 2u-3t=5,\\ 5u+7t=-2. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$5$$, второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 10u-15t=25,\\ 10u+14t=-4. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-29t=29,\quad t=-1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2u-3(-1)=5,\quad 2u=2,\quad u=1.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sin(x+y)=1,\quad \cos(x-y)=-1.$$

Тогда

$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x-y=\pi+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Складывая и вычитая, получаем:

$$2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi(n+k),\quad 2y=-\frac{\pi}{2}+2\pi(n-k).$$

Следовательно,

$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k),\quad y=-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k).$$

б) Сложим и вычтем уравнения системы:

$$\begin{cases} x^4-y^4=15,\\ x^4+y^4=17. \end{cases}$$

Складываем:

$$2x^4=32,\quad x^4=16,\quad x=\pm 2.$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$2y^4=2,\quad y^4=1,\quad y=\pm 1.$$

Проверка показывает, что подходят все сочетания знаков:

$$(-2,-1),\;(-2,1),\;(2,-1),\;(2,1).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{3\pi}{4}+\pi(n+k),\,-\frac{\pi}{4}+\pi(n-k)\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$(-2,-1),\;(-2,1),\;(2,-1),\;(2,1).$$