Упр.59.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений методом подстановки:
а) система $$\begin{cases}x+y=3,\\x^2+2y^2-xy+2x-3y=3;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35;\end{cases}$$ в) система $$\begin{cases}\sqrt{7-6x-y^2}=y+5,\\y=x-1;\end{cases}$$ г) система $$\begin{cases}x+2y=1,\\2x^2+3xy-3y^2=6.\end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=3-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+2(3-x)^2-x(3-x)+2x-3(3-x)=3$$
$$x^2+18-12x+2x^2-3x+x^2+2x-9+3x-3=0$$
$$4x^2-10x+6=0$$
$$2x^2-5x+3=0$$
$$(2x-3)(x-1)=0$$Отсюда $$x=1$$ или $$x=\frac{3}{2}.$$ Тогда
$$x=1,\ y=3-1=2;$$
$$x=\frac{3}{2},\ y=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$Ответ: $$(1;2),\ \left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right).$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=5-x.$$
Используем формулу суммы кубов:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
Тогда
$$5(x^2-xy+y^2)=35$$
$$x^2-xy+y^2=7$$Подставим $$y=5-x$$:
$$x^2-x(5-x)+(5-x)^2=7$$
$$x^2-5x+x^2+25-10x+x^2=7$$
$$3x^2-15x+18=0$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$(x-2)(x-3)=0$$Следовательно, $$x=2$$ или $$x=3.$$ Тогда
$$x=2,\ y=5-2=3;$$
$$x=3,\ y=5-3=2.$$Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$
Из второго уравнения имеем:
$$y=x-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sqrt{7-6x-(x-1)^2}=x-1+5$$
$$\sqrt{7-6x-x^2+2x-1}=x+4$$
$$\sqrt{-x^2-4x+6}=x+4$$Возведём в квадрат:
$$-x^2-4x+6=(x+4)^2$$
$$-x^2-4x+6=x^2+8x+16$$
$$2x^2+12x+10=0$$
$$x^2+6x+5=0$$
$$(x+5)(x+1)=0$$Получаем $$x=-5$$ или $$x=-1.$$ Проверим область допустимых значений: при $$x=-5$$ правая часть равна $$-1$$, а левая неотрицательна, значит это значение не подходит. При $$x=-1$$:
$$y=x-1=-2$$
Ответ: $$(-1;-2).$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=1-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2(1-2y)^2+3(1-2y)y-3y^2=6$$
$$2-8y+8y^2+3y-6y^2-3y^2=6$$
$$-y^2-5y-4=0$$
$$y^2+5y+4=0$$
$$(y+4)(y+1)=0$$Отсюда $$y=-4$$ или $$y=-1.$$ Тогда
$$y=-4,\ x=1-2(-4)=9;$$
$$y=-1,\ x=1-2(-1)=3.$$Ответ: $$(9;-4),\ (3;-1).$$
