Упр.58.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=\sqrt{1-x^2}$$; б) $$|y|=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$; в) $$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$; г) $$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$.
а) $$y=\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$y^2=1-x^2$$
$$x^2+y^2=1$$
Это верхняя полуокружность с центром $$\left(0;0\right)$$ и радиусом $$1$$, так как $$y\ge 0$$ и $$|x|\le 1$$.
б) $$|y|=-\sqrt{1-(x-1)^2}$$
Левая часть неотрицательна, правая — неположительна. Значит, обе части равны нулю:
$$|y|=0,\qquad \sqrt{1-(x-1)^2}=0$$
Отсюда
$$y=0$$
$$1-(x-1)^2=0$$
$$x-1=\pm 1$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Получаем точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(2;0\right)$$.
в) $$y+2=-\sqrt{1-x^2}$$
Возведём в квадрат:
$$\left(y+2\right)^2=1-x^2$$
$$x^2+\left(y+2\right)^2=1$$
Так как правая часть исходного уравнения не положительна, то $$y+2\le 0$$, то есть $$y\le -2$$.
Это нижняя полуокружность с центром $$\left(0;-2\right)$$ и радиусом $$1$$.
г) $$|y|=-\sqrt{1-x^2}+3$$
Рассмотрим два случая.
Если $$y\ge 0$$, то $$|y|=y$$ и
$$y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$\sqrt{1-x^2}=3-y$$
$$1-x^2=(3-y)^2$$
$$x^2+\left(y-3\right)^2=1$$
При этом $$0\le y\le 3$$. Получаем нижнюю полуокружность с центром $$\left(0;3\right)$$ и радиусом $$1$$.
Если $$y\le 0$$, то $$|y|=-y$$ и
$$-y=-\sqrt{1-x^2}+3$$
$$y=\sqrt{1-x^2}-3$$
$$\sqrt{1-x^2}=y+3$$
$$1-x^2=\left(y+3\right)^2$$
$$x^2+\left(y+3\right)^2=1$$
При этом $$-3\le y\le 0$$. Получаем верхнюю полуокружность с центром $$\left(0;-3\right)$$ и радиусом $$1$$.
Ответ: а) верхняя полуокружность $$x^2+y^2=1,\ y\ge 0$$; б) точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(2;0\right)$$; в) нижняя полуокружность $$x^2+\left(y+2\right)^2=1,\ y\le -2$$; г) две полуокружности: $$x^2+\left(y-3\right)^2=1,\ 0\le y\le 3$$ и $$x^2+\left(y+3\right)^2=1,\ -3\le y\le 0$$.
