Упр.58.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств $$\begin{cases} |x-y|\le 2, \\ |x+y|\le 2. \end{cases}$$ Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена: а) ниже прямой $$y=1$$; б) выше прямой $$y=0{,}5$$; в) правее прямой $$x=1$$; г) выше параболы $$y=x^2$$.

Множество решений системы $$\begin{cases}|x-y|\le 2,\\|x+y|\le 2\end{cases}$$ — ромб с вершинами $$(-2,0),\ (0,2),\ (2,0),\ (0,-2).$$

Его площадь:

$$S=\frac12\cdot 4\cdot 4=8.$$

а)

Ниже прямой $$y=1$$ лежит часть ромба без верхнего треугольника. У этого треугольника основание равно $$2$$, высота равна $$1$$, значит его площадь:

$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$

Тогда искомая вероятность:

$$P=\frac{8-1}{8}=\frac78.$$

б)

Выше прямой $$y=0{,}5$$ лежит верхняя часть ромба. Отсекается нижняя фигура площадью

$$S_1=\frac12\cdot 3\cdot 1{,}5=\frac94.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac{\frac94}{8}=\frac{9}{32}.$$

в)

Правее прямой $$x=1$$ лежит треугольник внутри ромба. Его площадь:

$$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$

Тогда

$$P=\frac{1}{8}.$$

г)

Найдём площадь части ромба, расположенной выше параболы $$y=x^2$$:

$$S_1=\int_{-1}^{0}\bigl((x+2)-x^2\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx.$$

Так как фигура симметрична относительно оси $$Oy$$, получаем

$$S_1=2\int_{0}^{1}(2-x-x^2)\,dx=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=2\left(2-\frac12-\frac13\right)=\frac73.$$

Тогда вероятность равна

$$P=\frac{S_1}{S}=\frac{\frac73}{8}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac78$$; б) $$\frac{9}{32}$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{7}{24}$$.