Упр.58.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
   а) $$\begin{cases} x \leq 9, \\ y \leq 0, \\ 2x + 5y \geq 10; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} x + y \leq 12, \\ y — x \leq 12, \\ y \geq 0. \end{cases}$$

а) Рассмотрим границы области:

$$x \le 9,\quad y \le 0,\quad 2x+5y \ge 10.$$

Из последнего неравенства получаем:

$$2x+5y \ge 10 \Rightarrow 5y \ge -2x+10 \Rightarrow y \ge -\frac{2}{5}x+2.$$

Точка пересечения прямой $$y=-\frac{2}{5}x+2$$ с осью $$Ox$$:

$$0=-\frac{2}{5}x+2 \Rightarrow x=5.$$

При $$x=9$$:

$$y=-\frac{2}{5}\cdot 9+2=-\frac{18}{5}+\frac{10}{5}=-\frac{8}{5}=-1{,}6.$$

Получаем прямоугольный треугольник с основанием $$9-5=4$$ и высотой $$1{,}6$$.

Тогда

$$S=\frac12 \cdot 4 \cdot 1{,}6=3{,}2.$$

б) Имеем систему:

$$x+y \le 12,\quad y-x \le 12,\quad y \ge 0.$$

Перепишем первые два неравенства:

$$y \le 12-x,\quad y \le x+12.$$

Прямые $$y=12-x$$ и $$y=x+12$$ пересекаются в точке:

$$12-x=x+12 \Rightarrow x=0,\quad y=12.$$

На оси $$Ox$$ область ограничена точками пересечения с ней:

$$y=12-x \Rightarrow x=12,\qquad y=x+12 \Rightarrow x=-12.$$

Значит, искомая фигура — треугольник с основанием $$12-(-12)=24$$ и высотой $$12$$.

Тогда

$$S=\frac12 \cdot 24 \cdot 12=144.$$

Ответ: а) $$3{,}2$$; б) $$144$$.