Упр.58.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\geq 0$$; б) $$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\leq 0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{4-x^2}{2x+3y-6}\ge 0.$$

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, либо числитель равен нулю, а знаменатель положителен.

Получаем две системы:

$$\begin{cases} 4-x^2\ge 0,\\ 2x+3y-6>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 4-x^2\le 0,\\ 2x+3y-6<0 \end{cases}$$

Из них:

$$\begin{cases} x^2\le 4,\\ y>-\frac23x+2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2\ge 4,\\ y<-\frac23x+2 \end{cases}$$

То есть искомое множество состоит из точек, лежащих:

• между прямыми $$x=-2$$ и $$x=2$$ выше прямой $$y=-\frac23x+2$$;
• вне полосы $$-2<x<2$$ ниже прямой $$y=-\frac23x+2$$.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+y^2-4}{|x|+|y|-2}\le 0.$$

Дробь неположительна, когда числитель и знаменатель разных знаков, либо числитель равен нулю, а знаменатель отрицателен.

Получаем две системы:

$$\begin{cases} x^2+y^2-4\ge 0,\\ |x|+|y|-2<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+y^2-4\le 0,\\ |x|+|y|-2>0 \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2+y^2\ge 4,\\ |x|+|y|<2 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2+y^2\le 4,\\ |x|+|y|>2 \end{cases}$$

Следовательно, искомое множество — точки, лежащие внутри круга $$x^2+y^2\le 4$$ и вне ромба $$|x|+|y|=2$$, а также точки окружности $$x^2+y^2=4$$, для которых $$|x|+|y|>2$$.

Ответ: а) $$\{(x,y)\mid (4-x^2)(2x+3y-6)\ge 0\}$$; б) $$\{(x,y)\mid (x^2+y^2-4)(|x|+|y|-2)\le 0\}$$.