Упр.58.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$xy\le 2$$; б) $$y<\frac{2}{|x|}$$; в) $$|x|y<2$$; г) $$|x|<\frac{2}{y}$$

Подробный ответ

а) При $$x>0$$ неравенство $$xy\le 2$$ равносильно

$$y\le \frac{2}{x}.$$

При $$x<0$$ при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$y\ge \frac{2}{x}.$$

При $$x=0$$ получаем $$0\le 2$$, значит, подходят все значения $$y$$.

Граница множества — гипербола $$y=\frac{2}{x}$$, причём при $$x>0$$ берётся область ниже графика, а при $$x<0$$ — выше графика. Сам график входит в множество.

б) Неравенство

$$y<\frac{2}{|x|}$$

имеет смысл при $$x\ne 0$$. Так как $$|x|>0$$, то

$$y<\frac{2}{x}\quad \text{при } x>0,$$

$$y<-\frac{2}{x}\quad \text{при } x<0.$$

Множество точек симметрично относительно оси ординат и лежит ниже графика $$y=\frac{2}{|x|}$$. Граница не входит в множество.

в) Неравенство

$$|x|\,y<2$$

равносильно системе:

$$\begin{cases} x>0, & y<\dfrac{2}{x},\\ x<0, & y<-\dfrac{2}{x},\\ x=0. \end{cases}$$

При $$x=0$$ неравенство принимает вид $$0<2$$, значит, подходят все $$y$$. Следовательно, множество точек состоит из области ниже графика $$y=\dfrac{2}{|x|}$$ и всей оси $$Oy$$.

г) Неравенство

$$|x|<\frac{2}{y}$$

имеет смысл только при $$y>0$$. Тогда, умножая на положительное число $$y$$, получаем

$$|x|\,y<2.$$

Значит, решение совпадает с пунктом в):

$$\begin{cases} y>0,\\ |x|<\dfrac{2}{y} \end{cases}$$

или, что то же самое,

$$|x|\,y<2,\quad y>0.$$