Упр.58.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$;
б) $$\sqrt{1-y}\leq\sqrt{1-2x^2}$$;
в) $$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$;
г) $$\sqrt{y^2-1}\geq\sqrt{2x-1}$$.

Для каждого неравенства сначала учитываем область определения корней, затем возводим обе части в квадрат.

а)

$$\sqrt{3x-y-1}<\sqrt{2x+y-1}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 3x-y-1\ge 0,\\ 2x+y-1\ge 0,\\ 3x-y-1<2x+y-1. \end{cases}$$

Отсюда:

$$\begin{cases} y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1,\\ y>\dfrac{x}{2}. \end{cases}$$

Итак, искомое множество точек — пересечение трёх полуплоскостей.

б)

$$\sqrt{1-y}\le \sqrt{1-2x^2}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 1-y\ge 0,\\ 1-2x^2\ge 0,\\ 1-y\le 1-2x^2. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} y\le 1,\\ -\dfrac{1}{\sqrt2}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt2},\\ y\ge 2x^2. \end{cases}$$

Это область, лежащая выше параболы $$y=2x^2$$ и не выше прямой $$y=1$$.

в)

$$\sqrt{x+y-1}>\sqrt{2x-y}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x+y-1\ge 0,\\ 2x-y\ge 0,\\ x+y-1>2x-y. \end{cases}$$

Отсюда:

$$\begin{cases} y\ge -x+1,\\ y\le 2x,\\ y>\dfrac{x+1}{2}. \end{cases}$$

Искомое множество точек — пересечение этих трёх полуплоскостей.

г)

$$\sqrt{y^2-1}\ge \sqrt{2x-1}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} y^2-1\ge 0,\\ 2x-1\ge 0,\\ y^2-1\ge 2x-1. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} y\le -1 \ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\ge \dfrac12,\\ x\le \dfrac{y^2}{2}. \end{cases}$$

Это область, расположенная справа от прямой $$x=\dfrac12$$ и не правее параболы $$x=\dfrac{y^2}{2}$$, при $$|y|\ge 1$$.

Ответ

а) $$\begin{cases}y\le 3x-1,\\ y\ge -2x+1,\\ y>\dfrac{x}{2};\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}y\le 1,\\ -\dfrac{1}{\sqrt2}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt2},\\ y\ge 2x^2;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}y\ge -x+1,\\ y\le 2x,\\ y>\dfrac{x+1}{2};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}y\le -1\ \text{или}\ y\ge 1,\\ x\ge \dfrac12,\\ x\le \dfrac{y^2}{2}.\end{cases}$$