Упр.58.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
   а) $$2|x-3|+2x-3y\leq 0$$;
   б) $$x-3+|y+2|\geq 2x+5$$.

а) Рассмотрим случаи для модуля:

$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3$$

Тогда

$$2(x-3)+2x-3y\le 0$$

$$4x-6-3y\le 0$$

$$3y\ge 4x-6$$

$$y\ge \frac{4x-6}{3}$$

Если $$x<3$$, то

$$2(3-x)+2x-3y\le 0$$

$$6-3y\le 0$$

$$y\ge 2$$

Итак, множество решений задаётся системой:

$$\begin{cases} x\ge 3,\\ y\ge \dfrac{4x-6}{3} \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x<3,\\ y\ge 2 \end{cases}$$

Граница состоит из луча прямой $$y=\dfrac{4x-6}{3}$$ при $$x\ge 3$$ и горизонтальной прямой $$y=2$$ при $$x<3$$.

б) Рассмотрим случаи для модуля:

$$y+2\ge 0,\quad y\ge -2$$

Тогда

$$x-3+(y+2)\ge 2x+5$$

$$x+y-1\ge 2x+5$$

$$y\ge x+6$$

Если $$y<-2$$, то

$$x-3-(y+2)\ge 2x+5$$

$$x-y-5\ge 2x+5$$

$$y\le -x-10$$

Следовательно, множество решений задаётся системой:

$$\begin{cases} y\ge -2,\\ y\ge x+6 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y<-2,\\ y\le -x-10 \end{cases}$$

Граница состоит из лучей прямых $$y=x+6$$ и $$y=-x-10$$, а также прямой $$y=-2$$.

Ответ

а) $$\{(x,y)\mid x<3,\ y\ge 2\}\cup \{(x,y)\mid x\ge 3,\ y\ge \frac{4x-6}{3}\}$$;

б) $$\{(x,y)\mid y\ge -2,\ y\ge x+6\}\cup \{(x,y)\mid y<-2,\ y\le -x-10\}$$.