Упр.58.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
а) $$\begin{cases}x+y\geq 3,\\2x-3y\leq 1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-y\geq 1,\\x+y\leq 1,\\x\leq 2y;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x-2y\geq 3,\\x+3y\leq -2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x-y\geq 2x,\\x+y\leq 3y,\\5x\leq 2y-7.\end{cases}$$
а) Преобразуем неравенства к виду $$y=\dots$$:
$$\begin{aligned} x+y&\ge 3,\\ y&\ge 3-x; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 2x-3y&\le 1,\\ -3y&\le 1-2x,\\ y&\ge \frac{2x-1}{3}. \end{aligned}$$
Искомая область — пересечение полуплоскостей $$y\ge 3-x$$ и $$y\ge \frac{2x-1}{3}$$, включая граничные прямые.
б) Получаем систему:
$$\begin{aligned} x-y&\ge 1, & y&\le x-1,\\ x+y&\le 1, & y&\le 1-x,\\ x&\le 2y, & y&\ge \frac{x}{2}. \end{aligned}$$
Проверим, существует ли общая часть. Из первых двух неравенств следует
$$x-1\ge \frac{x}{2}\quad \Rightarrow \quad x\ge 2,$$
а из второго и третьего —
$$1-x\ge \frac{x}{2}\quad \Rightarrow \quad x\le \frac{2}{3}.$$
Одновременно это невозможно, значит, решений нет.
в) Преобразуем неравенства:
$$\begin{aligned} x-2y&\ge 3,\\ 2y&\le x-3,\\ y&\le \frac{x-3}{2}, \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} x+3y&\le -2,\\ 3y&\le -x-2,\\ y&\le -\frac{x+2}{3}. \end{aligned}$$
Искомое множество — пересечение полуплоскостей $$y\le \frac{x-3}{2}$$ и $$y\le -\frac{x+2}{3}$$.
г) Преобразуем систему:
$$\begin{aligned} x-y&\ge 2x,\\ -y&\ge x,\\ y&\le -x; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} x+y&\le 3y,\\ x&\le 2y,\\ y&\ge \frac{x}{2}; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 5x&\le 2y-7,\\ 2y&\ge 5x+7,\\ y&\ge \frac{5x+7}{2}. \end{aligned}$$
Тогда нужно построить пересечение полуплоскостей
$$y\le -x,\qquad y\ge \frac{x}{2},\qquad y\ge \frac{5x+7}{2}.$$
Общая область — многоугольник, ограниченный этими прямыми.
Ответ
а) $$\{(x,y)\mid y\ge 3-x,\; y\ge \frac{2x-1}{3}\}$$;
б) решений нет;
в) $$\{(x,y)\mid y\le \frac{x-3}{2},\; y\le -\frac{x+2}{3}\}$$;
г) $$\{(x,y)\mid y\le -x,\; y\ge \frac{x}{2},\; y\ge \frac{5x+7}{2}\}$$.
