Упр.58.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$x^2 — 5xy + 6y^2 = 2$$;

б) $$x^2 + 2xy — 8y^2 = 7$$.

Подробный ответ

Разложим левую часть на множители.

а)

$$x^2-5xy+6y^2=2$$
$$x^2-3xy-2xy+6y^2=2$$
$$x(x-3y)-2y(x-3y)=2$$
$$(x-2y)(x-3y)=2$$

Так как произведение двух целых чисел равно $$2$$, возможны пары множителей:

$$\begin{aligned} x-2y&=1, & x-3y&=2;\\ x-2y&=2, & x-3y&=1;\\ x-2y&=-1, & x-3y&=-2;\\ x-2y&=-2, & x-3y&=-1. \end{aligned}$$

Решим каждую систему:

$$\begin{aligned} x-2y=1\\ x-3y=2 \end{aligned} \Rightarrow y=1,\ x=3;$$
$$\begin{aligned} x-2y=2\\ x-3y=1 \end{aligned} \Rightarrow y=-1,\ x=0;$$
$$\begin{aligned} x-2y=-1\\ x-3y=-2 \end{aligned} \Rightarrow y=1,\ x=1;$$
$$\begin{aligned} x-2y=-2\\ x-3y=-1 \end{aligned} \Rightarrow y=-1,\ x=-4.$$

Проверка показывает, что все найденные пары подходят.

б)

$$x^2+2xy-8y^2=7$$
$$x^2-2xy+4xy-8y^2=7$$
$$x(x-2y)+4y(x-2y)=7$$
$$(x+4y)(x-2y)=7$$

Так как произведение двух целых чисел равно $$7$$, возможны пары множителей:

$$\begin{aligned} x+4y&=1, & x-2y&=7;\\ x+4y&=7, & x-2y&=1;\\ x+4y&=-1, & x-2y&=-7;\\ x+4y&=-7, & x-2y&=-1. \end{aligned}$$

Решим каждую систему:

$$\begin{aligned} x+4y=1\\ x-2y=7 \end{aligned} \Rightarrow y=-1,\ x=5;$$
$$\begin{aligned} x+4y=7\\ x-2y=1 \end{aligned} \Rightarrow y=1,\ x=3;$$
$$\begin{aligned} x+4y=-1\\ x-2y=-7 \end{aligned} \Rightarrow y=1,\ x=-5;$$
$$\begin{aligned} x+4y=-7\\ x-2y=-1 \end{aligned} \Rightarrow y=-1,\ x=-3.$$