Упр.58.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$7x+2y=1$$; б) $$7x-12y=1$$.

а) Из уравнения

$$7x+2y=1$$

выразим $$y$$:

$$2y=1-7x,\qquad y=\frac{1-7x}{2}.$$

Чтобы $$y$$ было целым числом, число $$1-7x$$ должно делиться на $$2$$. Так как $$7x$$ и $$x$$ имеют одинаковую чётность, получаем, что $$x$$ должен быть нечётным:

$$x=2k+1,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$y=\frac{1-7(2k+1)}{2}=\frac{1-14k-7}{2}=-7k-3.$$

Следовательно,

$$x=2k+1,\qquad y=-7k-3,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

б) Из уравнения

$$7x-12y=1$$

выразим $$x$$:

$$7x=1+12y,\qquad x=\frac{1+12y}{7}.$$

Чтобы $$x$$ было целым числом, число $$1+12y$$ должно делиться на $$7$$. Так как $$12\equiv 5 \pmod 7$$, имеем

$$1+12y\equiv 1+5y\equiv 0 \pmod 7,$$

откуда $$y\equiv 4 \pmod 7$$. Значит,

$$y=7k+4,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=\frac{1+12(7k+4)}{7}=\frac{84k+49}{7}=12k+7.$$

Следовательно,

$$x=12k+7,\qquad y=7k+4,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=2k+1,\ y=-7k-3,\ k\in \mathbb{Z}.$$
б) $$x=12k+7,\ y=7k+4,\ k\in \mathbb{Z}.$$