Упр.57.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) совокупность $$\left(x+3\right)^3\geq27,\quad 4x-1<12x$$;
2. б) совокупность $$\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)<54,\quad x^2-9>0$$.

а) Рассмотрим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} (x+3)^3 \ge 27,\\ 4x-1<12x. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$(x+3)^3 \ge 27 \;\Rightarrow\; x+3 \ge 3 \;\Rightarrow\; x \ge 0.$$

Второе неравенство:

$$4x-1<12x \;\Rightarrow\; -1<8x \;\Rightarrow\; x>-\frac18.$$

Для совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из неравенств. Поэтому

$$x>-\frac18.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac18;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим совокупность неравенств:

$$\begin{cases} (x+3)(x^2-3x+9)<54,\\ x^2-9>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$(x+3)(x^2-3x+9)<54 \;\Rightarrow\; x^3+27<54 \;\Rightarrow\; x^3<27 \;\Rightarrow\; x<3.$$

Второе неравенство:

$$x^2-9>0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+3)>0 \;\Rightarrow\; x<-3 \;\text{или}\; x>3.$$

Для совокупности достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из неравенств. Тогда

$$x<3 \;\text{или}\; x<-3 \;\text{или}\; x>3,$$

то есть

$$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$