Упр.57.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\-3x<9;\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0,\\x^2<25.\end{cases}$$

1. $$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0,\qquad -3x<9$$

   Приведём первое неравенство к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$

   $$\frac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$

   Так как $$\,(x+2)^2>0\,$$ при $$x\ne -2,$$ то достаточно решить числитель:

   $$x^2+2x-24<0$$

   $$\left(x+6\right)\left(x-4\right)<0$$

   Отсюда

   $$-6<x<4,\qquad x\ne -2.$$

   Второе неравенство:

   $$-3x<9 \;\Rightarrow\; x>-3.$$

   Пересекаем полученные промежутки:

   $$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;4).$$

   С учётом условия $$x\ne -2$$ получаем:

   $$x\in(-3;-2)\cup(-2;4).$$

2. $$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0,\qquad x^2<25$$

   Так как $$\,(x-4)^2>0\,$$ при $$x\ne 4,$$ то первое неравенство равносильно:

   $$x^2-1{,}5x-7>0,\qquad x\ne 4.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$2x^2-3x-14>0$$

   $$\left(2x+4\right)\left(x-3{,}5\right)>0$$

   Отсюда

   $$x<-2 \;\text{или}\; x>3{,}5.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2<25 \;\Rightarrow\; -5<x<5.$$

   Пересекаем решения:

   $$\left((- \infty;-2)\cup(3{,}5;+\infty)\right)\cap(-5;5)=(-5;-2)\cup(3{,}5;5).$$

   С учётом ограничения $$x\ne 4$$ получаем:

   $$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5).$$

Ответ: а) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;4)$$; б) $$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5)$$.