Упр.57.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$x^3 < x,\quad 3x^2 - x > 5 — 15x$$;
   б) система $$\frac{x+5}{x-7} < 1,\quad \frac{3x+4}{4x-2} > -1$$.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x^3<x,\\ 3x^2-x>5-15x. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $$x^3<x$$

$$x^3-x<0$$

$$x(x^2-1)<0$$

$$x(x-1)(x+1)<0$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad 0<x<1.$$

2) $$3x^2-x>5-15x$$

$$3x^2+14x-5>0$$

$$(3x-1)(x+5)>0$$

Следовательно,

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac13.$$

Пересекаем решения:

$$\left((-\infty;-1)\cup(0;1)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;+\infty\right)\right) = (-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right).$$

б) Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \dfrac{x+5}{x-7}<1,\\[4pt] \dfrac{3x+4}{4x-2}>-1. \end{cases}$$

1) $$\dfrac{x+5}{x-7}<1$$

$$\dfrac{x+5-(x-7)}{x-7}<0$$

$$\dfrac{12}{x-7}<0$$

Отсюда

$$x<7.$$

2) $$\dfrac{3x+4}{4x-2}>-1$$

$$\dfrac{3x+4+(4x-2)}{4x-2}>0$$

$$\dfrac{7x+2}{4x-2}>0$$

Критические точки: $$x=-\frac27$$ и $$x=\frac12$$. Тогда

$$x<-\frac27 \quad \text{или} \quad x>\frac12.$$

Пересекаем с условием $$x<7$$:

$$(-\infty;-\tfrac27)\cup\left(\tfrac12;7\right).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right)$$

б) $$x\in(-\infty;-\frac27)\cup\left(\frac12;7\right)$$