Упр.57.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$; б) $$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2$$.

а) Преобразуем неравенство:

$$6\log_3|x-1|\le 14+2x-x^2$$

$$3\cdot 2\log_3|x-1|\le 15-(x^2-2x+1)$$

$$3\log_3(x-1)^2\le 15-(x-1)^2$$

Пусть $$y=(x-1)^2$$, тогда получаем

$$3\log_3 y\le 15-y,$$

где $$y>0$$.

Рассмотрим функции $$f(y)=3\log_3 y$$ и $$g(y)=15-y$$. Первая возрастает при $$y>0$$, вторая убывает при $$y>0$$, значит неравенство выполняется до точки их пересечения.

Найдём точку пересечения:

$$3\log_3 9=3\log_3 3^2=6,\qquad 15-9=6.$$

Следовательно,

$$0<y\le 9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$0<(x-1)^2\le 9.$$

Отсюда

$$|x-1|\le 3,\qquad x\ne 1.$$

Значит,

$$-3\le x-1\le 3,\qquad x\ne 1,$$

то есть

$$-2\le x\le 4,\qquad x\ne 1.$$

Итак,

$$x\in[-2;1)\cup(1;4].$$

б) Рассмотрим неравенство:

$$\log_2(x^2+x-10)>25-2x-2x^2.$$

Пусть

$$y=x^2+x-10.$$

Тогда

$$25-2x-2x^2=5-2(x^2+x-10)=5-2y,$$

и неравенство принимает вид

$$\log_2 y>5-2y.$$

Область определения: $$y>0$$.

Функция $$f(y)=\log_2 y$$ возрастает при $$y>0$$, а функция $$g(y)=5-2y$$ убывает при $$y>0$$. Найдём точку пересечения:

$$\log_2 2=1,\qquad 5-2\cdot 2=1.$$

Значит,

$$y>2.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$x^2+x-10>2,$$

$$x^2+x-12>0,$$

$$(x+4)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ

а) $$x\in[-2;1)\cup(1;4]$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$.